Acerca de mi

Bienvenidos a mi sitio personal! Soy estudiante de Licenciatura en Ciencias Matemáticas. Previamente, completé dos años y medio de la Licenciatura en Física. Mis intereses son el análisis, los fractales, las ondículas,y temas relacionados con astrofísica como agujeros negros.

Desigualdad de Cauchy-Shwartz generalizada

Es muy útil en Análisis la desigualdad de Cauchy-Shwartz para trabajar con espacios de Hilbert, es decir, aquellos que verifican las propiedades de espacio vectorial, están provistos de un producto interno y además son completos, i.e., toda sucesión de Cauchy converge en ellos.
Decidí publicar la desigualdad de Cauchy-Shwartz generalizada, ya que su demostración, si bien requiere conocimientos avanzados, no lo son demasiado específicos como lo fue el contexto en el cual realicé dicha demostración. Fue en realidad en un curso de Wavelets, en el cual fue útil lo que voy a presentar:
Desigualdad de Cauchy-Shwartz generalizada:donde como ya fue mencionado L es un operador autoadjunto definido positivo y H un espacio de Hilbert.
Se sabe que cualquier producto interior satisface la desigualdad de C-S con la norma inducida, se probará entonces que <> es un producto interior.

La aguja de Buffon

Si bien la matemática es una ciencia formal, y escencialmente teórica, existen formas empíricas y, a mi parecer, divertidas como de la que habla este artículo.

Un experimento para hallar un valor aproximado de PI (porque los experimentos siempre arrojan resultados aproximados) consiste simplemente en arrojar una aguja al azar entre dos rectas paralelas, separadas por una distancia d (conocida para quien realice esto) y contar cuántas veces la aguja intersecó una de las rectas. Naturalmente, la longitud de la aguja(de ahora en más l) debe ser menor estricto que la separación entre las rectas.
La probabilidad, si bien es difícil de definir, se puede entender como el límite de la frecuencia relativa de un suceso, i.e.,el cociente entre el número de éxitos y el número de experimentos cuando éste último es grande. Claro está que ésta no es una sucesión de números, y que la noción de límite no es la convencional sino que se fundamenta en las leyes de los Grandes Números. No haré un análisis detallado sobre este tema, por ser poco relevante.

La probabilidad de que una aguja tirada al azar interseque una de las rectas es 2l/(PI.d).
La demostración de esto es sencilla pero se requiere de algunos conocimientos del ciclo básico universitario. Se definen dos variables aleatorias, sea X la distancia entre el centro de la aguja, e Y el ángulo que forma la perpendicular a la recta más próxima, que pasa por el centro de la aguja, con la aguja. El hecho de "arrojar al azar" quiere decir que X se distribuye uniformemente en el intervalo (0, d/2), que Y se distribuye, también uniformemente en (-PI/2, PI/2) y la independencia de X e Y. Habiendo interpretado esto, se reduce a calcular integrales, como se muestra a continuación.


Ahora, todos los interesados ya pueden experimentar, dibujen las dos rectas con separación conocida (recomiendo una hoja cuadriculada) y consigan una aguja o palillo que puedan medir. Se espera que, si realizan el experimento n veces, y m veces la aguja tocó una recta, m/n sea aproximadamente 2l/(PI.d), despejando PI = 2.l.n/(d.m). Yo realicé este experimento 100 veces y obtuve 3,125!!!

Nota: El experimento debe su nombre a Georges Louis Leclerc(1707-88), Conde de Buffon, un naturalista, matemático, biólogo y cosmólogo francés a quien se le atribuye este problema.